بیلیارد فضایی

جواب معمای هفته پیش را در این پیوند بخوانید.

دو فیزیکدان جوان با هم در مورد برنامه تعطیلات‌شان صحبت می‌کردند. جونز گفت: ” شاید یه سفر با سفینه کروز رفتم. بهم گفتن که غذای کاتی اسنارک* حرف نداره. و این که امسال تابستون هم روی ماه فرود میان، هم روی مریخ و هم روی زهره.”

اسمیت گفت: “من پارسال رفتم؛ خیلی هم خوش گذشت. سفینه یه اتاق سرگرمی خیلی بزرگ داره با انواع و اقسام بازی‌های جدید. مثلاً بیلیارد فضایی. زمانی که سفینه در میدان گرانشی باشه، مثل همیشه بازی میشه، فقط میز عظیمی داره با بیشتر از صد تا توپ بیلیارد.”

“بعد، در شرایط جاذبه صفر چطور بازی می‌کنن؟”

اسیمت در ادامه گفت: “یکی از مهندسین تونسته یه میدان مغناطیسی سبز رنگ بسازه. توپ‌ها رو داخل یک مکعب مستطیل حول و حوش یک متر بالاتر از میز نگه میداره. داخل توپ‌ها آهن وجود داره. زمانی که به دیوارهای سبز میخورن، مثل وقتی که به دیواره‌های میز بیلیارد خوردن، برمی‌گردن. میدان مغناطیسی روی چوب بیلیارد تاثیری نداره، پس میتونی از هر جایی که خواستی باهاش به توپ ضربه بزنی. در هشت گوشه مکعب مستطیل حفره وجود داره، که اگه توپ به یکی از اون هشت گوشه بره، از میدان مغناطیسی خارج میشه و مثل بیلیارد عادی امتیاز شماره روی توپ رو میگیری.”

“ولی بعد از این که به توپ‌ها ضربه زدی، همین جوری به حرکتشون ادامه نمیدن؟ چطوری به کیوبال** ضربه بزنی وقتی در حرکته؟”

اسمیت گفت: “توپ‌ها دقیقاً ده ثانیه بعد از هر ضربه می‌ایستند. نمی‌دونم چطوری کار می‌کنه. فکر کنم یه میدان مغناطیسی دیگه این کار رو می‌کنه.”

“چند تا توپ وجود داره؟”

“دقیق خاطرم نیست. بین صد تا دویست توپ. وقتی بازی روی میز انجام بشه، با توپ‌هایی که به شکل مثلثی کنار هم قرار گرفتن شروع میشه، درست مثل پانزده توپ اولیه در بیلیارد عادی. زمانی که بازی در فضا انجام بشه، همون توپ‌ها این بار به صورت چهاروجهی منتظم یا هرمی شکل کنار هم قرار میگیرن.”

جونز گفت: “به عبارت دیگر، تعداد توپ‌ها هم مثلثی است و هم هرمی*** تعداد این جور عددها نباید زیاد باشه.”

اسمیت چشماش رو بست و گفت: “خُب، 1 هستش. هم مثلثی است، هم هرمی ولی بدرد نمی‌خوره. هرمی بعدی یک مثلث با 3 توپ هستش که 1 توپ روی اونه، جمعاً 4. ولی 4 یک عدد مثلثی نیست.”

جونز گفت: “10 ولی هست. یه مثلت میسازه با ردیف‌های 1،2،3 و 4. در عین حال هرمی هم هست. هر عدد هرمی مجموع اعداد مثلثی متوالی است؛ جمع اعداد مثلثی 1، 3 و 6 میشه 10.”

در اینجا جونز ماشین حساب خودش را به دست گرفت: “بذار ببینیم. اگه کلاس نظریه اعداد درست یادم بیاد، اعداد مثلثی به صورت  ½ n(n + 1) بودن که در اون n عدد صحیح مثبتی است. اعداد هرمی هم به صورت  ⅙  n(n + 1)(n + 2)هستند.”

خیلی طول نکشید که جونز عدد بعدی را پیدا کند که به هر دو فرمول خورده و بین اعداد 100 و 200 باشد. عدد دیگری کوچکتر از 200 پیدا نکرد که شرایط گفته شده را داشته باشد؛ پس عددی که پیدا کرده بود تنها جواب ممکن بود.

با کمک یک ماشین حساب به چه میزان سریع می‌توانید تعداد توپ‌های مورد استفاده در بیلیارد فضایی را پیدا کنید (بدون در نظر گرفتن کیوبال)؟

* Cutty Snark

** Cue Ball: توپ سفید در بیلیارد

*** در ادامه جونز در مورد اعداد مثلثی و هرمی بیشتر توضیح میدهد. ولی برای این که شما بتوانید تصویر ذهنی بهتری داشته باشید، به تصاویر زیر نگاه کنید (تصاویر برگرفته است از وبلاگ مجله ریاضی):

اعداد مثلثی: اگر آنها را به صورت مهره‌هایی نشان دهیم مثلث‌هایی بدست خواهد آمد.

اعداد هرمی (تتراهدرال / Tetrahedral) : اعدادی که هرم مثلث القاعده را می‌سازند.