معماهای ظهر جمعه: جواب‌ها

1) گمشده در سیاره کاپرا

اولین جواب

دکتر سیگه ممکن است از هر نقطه‌ای بر روی دایره‌ای در فاصله 115.9 کیلومتری قطب جنوب سیاره کاپرا شروع به حرکت کرده باشد. اگر 100 کیلومتر به سمت جنوب رفته باشد، به نقطه‌ای در فاصله 50/π کیلومتری قطب می‌رسد. حال اگر 100 کیلومتر دیگر به سمت شرق حرکت کند، یک دور کامل به دور قطب گشته است (یک دایره کامل). در ادامه با طی مسافت 100 کیلومتری به سمت شمال به نقطه شروع باز خواهد گشت.

گروه نجات به موقع دکتر سیگه و همراهانش را، همان جایی که فلیکس حدس زده بود، پیدا کرد و جان آنها را نجات داد. در راه برگشت به زمین، هیلدا به ناگهان متوجه شد که نقطه سومی هم وجود داشت که ممکن بود دکتر سیگه حرکتش را از آن شروع کرده باشد! می‌توانی نقطه سوم را پیدا کنی؟

 

دومین جواب

دکتر سیگه ممکن بود از نقطه‌ای بسیار نزدیک به قطب جنوب شروع به حرکت کرده باشد، به نحوی که پس از طی مسافتی در جهت شرق 2 مرتبه به دور قطب گشته باشد. البته که می‌توان این پاسخ را به صورت کلی داد که با حرکت به سمت شرق n بار به دور قطب گشته است، که در آن n عدد طبیعی (عدد صحیح مثبت) است. پس برای حل مساله بی‌نهایت نقطه بر روی بی‌نهایت دایره وجود دارد.

 

2) معضل سه پزشک

پزشک اول دستکش شماره 1 را پوشیده و دستکش شماره 2 را بر روی آن می‌پوشد. پزشک دوم تنها دستکش شماره 2 را می‌پوشد. در نهایت پزشک سوم دستکش شماره 1 را پشت و رو کرده، پوشیده و دستکش شماره 2 را بر روی آن می‌پوشد. در این صورت بدن هر سه پزشک در طول عمل جراحی، تنها با طرف استریل دستکش‌ها در تماس خواهد بود. در مورد بیمار، بدن او تنها با بیرون دستکش شماره 2 در تماس خواهد بود که فقط با بدن خود بیمار در تماس بوده، نه با پوست هیچ کدام از پزشکان.

 

3) بیلیارد فضایی

اولین جواب

ریاضیدانان به این دست از معادلات، معادلات سیاله یا معادلات دیوفانتی می‌گویند. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد. در این مورد معادله به صورت زیر است:

عبارت سمت چپ مربوط به اعداد هرمی و عبارت سمت راست مربوط اعداد مثلثی است. مقادیر x و y اعداد صحیح و مثبتی هستند. دو جواب را همین الان می‌دانیم:

x = 1, y = 1

x = 3, y = 4

دو جواب بالا اعداد 1 و 10 را برای تعداد توپ‌ها بدست می‌آورند. جواب بعدی:

x = 8, y = 15

که در این صورت تعداد توپ‌های بیلیارد فضایی می‌شود 120 عدد.

دو جواب دیگر هم وجود دارد:

x = 20, y = 55

x = 34, y = 119

این جواب‌ها اعداد 1540 و 7140 را برای تعداد توپ‌ها بدست می‌آورند. هر پنج جواب اواخر قرن نوزدهم پیدا شده بود، بالاخره در سال 1967 یک ریاضیدان روسی اثبات کرد که جواب دیگری وجود ندارد.

حالا عددی را پیدا کنید که هم هرمی و هم مربعی باشد. دو جواب ساده اعداد 1 و 4 هستند. تنها یک عدد دیگر با این شرایط وجود دارد. می‌توانید پیدایش کنید؟ در مورد اعداد مربعی در این پیوند بیشتر بخوانید.

 

دومین جواب

1402 = 19600 که چهل و هشتمین عدد هرمی است.

 

4) دویل‌های معیوب

الگوریتم مورد نظر از دستگاه اعداد باینری (دودویی) استفاده می‌کند:

1 دویل از قوطی اول، 2 دویل از قوطی دوم، 4 دویل از قوطی سوم، 8 دویل از قوطی چهارم، 16 دویل از قوطی پنجم و  در نهایت 32 دویل از قوطی ششم برمی‌داریم. دقت کنید که دنباله اعداد 1،2،4،8،16،32 توان‌های 0 تا 5 عدد 2 هستند و جمع هر زیرمجموعه‌ای از این اعداد با مجموع دیگر زیرمجموعه‌ها متفاوت است.

حال 63 دویل به دست آمده را بر روی ترازو گذاشته، وزن کرده و وزن اضافی به میلی‌گرم را به صورت یک عدد باینری می‌نویسیم. موقعیت هر عدد 1 زمانی که از سمت راست می‌شماریم، قوطی‌های معیوب را مشخص می‌کند. برای مثال اگر مازاد وزن 22 میلی‌گرم باشد، از آنجاییکه عدد 22 در سیستم باینری به صورت 10110 نشان داده می‌شود، قوطی‌های دوم، سوم و پنجم حاوی دویل‌های معیوب هستند.

نظرات